2012年上海黄浦高三数学二模(含答案)

发布时间:2021-10-23 03:40:01

2012 年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷(理科)
(2012 年 4 月 12 日) 考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解 答一律无效. 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚. 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直接 填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) = log 1 (2 x +1) 的定义域为
2

. .

x2 ? y2 = 1的一个焦点为 F (2,0) ,则实数 m = m 3π 3.若 π ≤ x ≤ ,则方程 2sin x + 1 = 0 的解 x = . 2
2.若双曲线

4.已知幂函数 y = f ( x) 存在反函数,若其反函数的图像经过点 ( ,9) ,则该幂函数的解析式 . 5.一盒中有 7 件正品, 3 件次品,无放回地每次取一件产品,直至取到正品.已知抽取次数 ξ

1 3

f ( x) =

的概率分布律如下表:

x P(ξ = x)

1 7 10

2 7 30

3

4 1 120


7 120

那么抽取次数 ξ 的数学期望 Eξ =

6.一名工人维护甲、乙两台独立的机床,若在一小时内,甲、乙机床需要维护的概率分别为 0.9 、 0.85 ,则两台机床都不需要维护的概率为 .

1 z 0 7.已知 z ∈ C , z 为 z 的共轭复数,若 0 1 1 = 0 ( i 是虚数单位) ,则 z =



z iz 0
π? 5 4 8 .已 知 α 、 β ∈ ? ? 0, 2 ? ,若 cos(α + β ) = , sin(α ? β ) = ? ,则 13 5 ? ? cos 2 α = .
A1

C1 B1

9.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1 A1 是正方形, C 是圆柱下底 面弧 AB 的中点, C1 是圆柱上底面弧 A1 B1 的中点,那么异面 直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 .
A

B
C
第9题

—1 —

? x = 1 + 5 cos θ , ? 10.若过圆 C : ? ( 0 ≤ θ < 2 π )上一点 P(?1,0) 作 ? ? y = ? 1 + 5 sin θ , 该圆的切线 l ,则切线 l 的方程为 .

11 .若 (1 + 2 x)n ( n ∈ N* )二项 展开式中的各项系 数和为 a n ,其二项式系数和 为 bn ,则

lim

bn +1 ? an = n →∞ a n +1 + bn



12.设集合 P = {1, x} , Q = {1,2, y} ,其中 x, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,且 P ? Q .若将满足上述 条件的每一个有序整数对 ( x, y ) 看作一个点,则这样的点的个数为 13.已知函数 f (x ) = | x2 ? 2ax + a |( x ∈ R ) ,给出下列四个命题: ① 当且仅当 a = 0 时, f (x ) 是偶函数; ② 函数 f (x ) 一定存在零点; ③ 函数在区间 ( ?∞, a] 上单调递减; ④ 当 0 < a < 1 时,函数 f (x ) 的最小值为 a ? a 2 . 那么所有真命题的序号是 .
O y



A F

B
x

14.已知△ FAB ,点 F 的坐标为 (1,0) ,点 A 、 B 分别在图中抛物线

y2 = 4 x 及圆 ( x ? 1) 2 + y2 = 4 的实线部分上运动,且 AB 总是*
行于 x 轴,那么△ FAB 的周长的取值范围为 .
第 14 题

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知空间三条直线 a 、 b 、 m 及*面 α ,且 a 、 b ? ≠ α .条件甲: m ⊥ a , m ⊥ b ;条件 乙: m ⊥ α , 则 “条件乙成立” 是 “条件甲成立” 的……………………………………… ( A.充分非必要条件 C .充分且必要条件 B .必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ) )

16.已知 a 、 b > 0 ,则下列不等式中不一定成立的是……………………………………( A.

a b + ≥2 b a
2ab ≥ ab a+b

B . ( a + b) ? (

1 1 + )≥ 4 a b 1 ≥2 2 ab

C.

D. a + b +

17.已知△ ABC 的三边分别是 a、 b、 c ,且 a ≤ b ≤ c ( a、b、c ∈ N* ) ,若当 b = n ( n ∈ N* ) 时, 记满足条件的所有三角形的个数为 a n , 则数列 {an } 的通项公式………………… ( A. a n = 2 n ? 1 —2 — B . an = )

n( n + 1) 2

C. a n = 2 n + 1

D. a n = n

18.已知 O 、 A 、 B 、 C 是同一*面上不共线的四点,若存在一组正实数 λ1 、 λ2 、 λ3 ,使得

??? ? ??? ? ??? ? ? λ1 OA + λ2 OB + λ3 OC = 0 , 则三个角 ∠AOB 、 ∠ BOC 、 ∠COA ……………………… (
B .至少有两个钝角 D.至多有两个钝角



A.都是钝角 C .恰有两个钝角

(本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规 三、解答题 解答题( 定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. 已知三棱锥 P ? ABC , PA ⊥ *面 ABC , AB ⊥ AC ,
P

AB = AC = 4 , AP = 5 .
(1)求二面角 P ? BC ? A 的大小(结果用反三角函数值表示) . (2)把△ PAB(及其内部) 绕 PA 所在直线旋转一周形成一几何 体,求该几何体的体积 V .

A B

C

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 已知函数 f ( x) = 2 3sin x ? cos x + cos 2 x ?sin 2 x ?1 ( x ∈ R ) (1)求函数 y = f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ∈[?

5π π , ],求 f (x ) 的取值范围. 12 3

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 某高科技企业研制出一种型号为 A 的精密数控车床, A 型车床为企业创造的价值逐年减少 (以投产一年的年初到下一年的年初为 A 型车床所创造价值的第一年) .若第 1 年 A 型车床创 造的价值是 250 万元,且第 1 年至第 6 年,每年 A 型车床创造的价值减少 30 万元;从第 7 年 开始,每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用 a n ( n ∈ N* )表示 A 型车床在第 n 年创造的价值. —3 —

(1)求数列 {an } ( n ∈ N* )的通项公式 a n ; (2)记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Tn =

Sn .企业经过成本核算,若 Tn > 100 万元,则继 n 续使用 A 型车床,否则更换 A 型车床.试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床?
b1 + b2 + ? + bn ? (已知:若正数数列 {bn } 是单调递减数列,则数列 ? ? ? 也是单调递减 n ? ?
数列) .

22 . (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 已知定点 F (2,0) ,直线 l : x = ?2 ,点 P 为坐标*面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线, 垂 足为点 Q ,且 FQ ⊥ ( PF + PQ ) .设动点 P 的轨迹为曲线 C . (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,求证:

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? (3)记 OA 与 OB 的夹角为 θ ( O 为坐标原点, A 、 B 为(2)中的两点) ,求 cos θ 的取 值范围.

1 1 1 + = ; | AF | | BF | 2

23 . (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小 题满分 6 分. 对 n ∈ N* ,定义函数 f n ( x) = ?( x ? n) 2 + n , n ? 1 ≤ x ≤n . (1)求证: y = fn ( x) 图像的右端点与 y = fn + 1 ( x ) 图像的左端点重合;并回答这些端点在 哪条直线上. (2 )若直线 y = kn x 与函数 f n ( x) = ?( x ? n) 2 + n , n ? 1 ≤ x ≤n ( n ≥ 2 , n ∈ N* )的图 像有且仅有一个公共点,试将 k n 表示成 n 的函数. —4 —

(3) 对 n ∈ N* , n ≥ 2 , 在区间 [0, n] 上定义函数 y = f ( x) , 使得当 m ? 1 ≤ x ≤ m ( m ∈ N* , 且 m = 1, 2 , …, n ) 时, f (x ) = f m (x ) . 试研究关于 x 的方程 f ( x ) = k n x ( 0≤ x≤ n,

n ∈ N* )的实数解的个数(这里的 k n 是(2)中的 k n ) ,并证明你的结论.

2011 学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理科) 参考答案和评分标准(2012 年 4 月 12 日)
说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答 中的评分精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分, 但该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一 、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1. (? , +∞)
? 1 2

1 2

2. 3

3.

7π 6

4. x

5.

11 8 63 65

6. 0.015

7. 0 或 ?i 10. 2 x ? y + 2 = 0 13.①④

8.

9. 2 12. 14

1 3 14. (4,6)
11. ?

(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案 ,考生应在答 二、选择题 选择题( 每题有且只有一个正确答案, 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.A 16.C 17.B 18.B (本大题满分 74 分 )本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规 三、解答题 解答题( —5 —

定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. [解](1)解法一:设 BC 的中点 D ,联结 AD , PD ,易知在等腰三角形 PBC 、 ABC 中,

PD ⊥ BC , AD ⊥ BC ,故 ∠PDA 为二面角 P ? BC ? A 的*面角.
在等腰 Rt △ ABC 中,由 AB = AC = 4 及 AB ⊥ AC ,得 AD = 2 2 . 由 PA ⊥ *面 ABC ,得 PA ⊥ AD .

(2分)

PA 5 2 = . AD 4 5 2 故二面角 P ? BC ? A 的大小为 arctan . 4
在 Rt △ PAD 中, tan ∠PDA = 解法二:如图建立空间直角坐标系,可得各点的坐标
z

(6分) (8分)

A(0,0,0) , B(4,0,0) , C (0,4,0) , P(0,0,5) . ??? ? ??? ? 于是 PB = (4,0, ?5) , BC = (?4,4,0) .

P
(2分)

由 PA ⊥ * 面 ABC , 得 * 面 ABC 的 一 个 法 向 量 ? ? n1 = (0,0,1) . ?? ? 设 n 2 = (u ,v ,w ) 是*面 PBC 的一个法向量. ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? ?? ? ??? ? 因为 n2 ⊥ PB , n2 ⊥ BC , 所以 n 2 ? PB = 0 , n2 ? BC = 0 , 4 即 4 u ? 5 w = 0 , ?4 u + 4 v = 0 ,解得 w = u , v = u , 5 ?? ? 取 u = 5 ,得 n 2 = (5, ?5,4) . (4分)

A C B x

y

D

? ? ?? ? n1 ? n2 2 66 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? = ?? . ? ?? ? = 33 n1 n2
结合图可判别二面角 P ? BC ? A 是个锐角,它的大小为 arccos (2)由题设,所得几何体为圆锥,其底面半径为 4 ,高为 5 . 该圆锥的体积 V = × 5 × π × 4 2 =

?? ? ?? ?

(6分)

2 66 . 33

(8分)

1 3

80 π . 3 π 6

(12分)

20. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. [解](1)由题设 f ( x) = 3sin 2 x + cos 2 x ? 1 = 2sin(2 x + ) ? 1 , 由 2 kπ ? (2 分)

π π π π π ≤ 2 x + ≤ 2k π + ,解得 k π ? ≤ x ≤ k π + , 2 6 2 3 6
(6 分)

π π? 故函数 y = f ( x) 的单调递增区间为 ? . kπ ? ,kπ + ? ( k ∈ Z) ? 3 6? ?

5π π 2π π 5π ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x + ≤ . 12 3 3 6 6 π 考察函数 y = sin x ,易知 - 1≤ sin(2 x + ) ≤1 , 6
(2)由 ? —6 —

(7 分) (10 分)

于是 -3 ≤ 2sin(2 x + ) ?1 ≤1 . 故 y = f ( x) 的取值范围为 [ ?3,1] . (12 分)

π 6

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. [解](1)由题设,知 a1 , a 2 , …, a6 构成首项 a1 = 250 ,公差 d = ?30 的等差数列. 故 a n = 280 ? 30 n ( n ≤ 6 , n ∈ N* ) (万元) . (3 分)

1 1 …, a n ( n ≥ 7 , n ∈ N* )构成首项 a 7 = a 6 = 50 ,公比 q = 的等比数列. a7 , a8 , 2 2 1? 故 a n = 50 × ? ? ? ?2?
n ?7

( n ≥ 7 , n ∈ N* ) (万元) .

(6 分)

1 ≤ n ≤6 ? 280 ? 30 n, ? n ?7 于是, a n = ? ( n ∈ N* ) (万元) . ?1? 50 × , n ≥ 7 ? ?2? ? ? ?

(7 分)

(2)由(1)知, {an } 是单调递减数列,于是,数列 {Tn } 也是单调递减数列. 当 1 ≤ n ≤ 6 时, Tn =

Sn = 265 ? 15 n , {Tn } 单调递减, T6 = 175 > 100 (万元) . n

所以 Tn > 100 (万元) .

S 当 n ≥ 7 时, Tn = n = n

? ? 1 ?n?6 ? 1050 +100 × ?1 ? ? ? ? ? ?2? ? ? ?

1150 ? =

n

n

100 2n ?6 ,

(9 分) (13 分)

当 n = 11 时, T11 > 104 (万元) ;当 n = 12 时, T12 < 96 (万元) . 所以,当 n ≥ 12 , n ∈ N* 时,恒有 Tn < 96 . 故该企业需要在第 11 年年初更换 A 型车床.

(14 分)

22 . (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. [解](1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) . (1 分)

??? ? ??? ? ??? ? 由题意,可得 Q(?2, y) , FQ = (?4, y) , PF = (2 ? x, ? y) , PQ = (?2 ? x,0) . (3 分)
由 FQ 与 PF + PQ 垂直,得 FQ ? ( PF + PQ) = 0 ,即 y2 = 8 x ( x ≥ 0 ) . —7 —

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ?

(6 分)

因此,所求曲线 C 的方程为 y2 = 8 x ( x ≥ 0 ) . [证明](2)因为过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,所以 l1 的斜率不为 零,故设直线 l1 的方程为 x = my + 2 . 于是 A 、 B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x 2 , y 2 ) 为方程组 ? í 消 x 并整理得 y2 -8 my -16 = 0 .
2 ? ? y1 + y2 = 8m, ? x + x2 = 8 m + 4, 进一步得 ? 1 ? ? y1 y2 = ?16, ? x1 x2 = 4.

(7 分)

ì ? y 2 = 8 x, 的实数解. ? ? ? x = my + 2,
(8 分)

于是 ?

(10 分)

又因为曲线 y2 = 8 x ( x ≥ 0 )的准线为 x = ?2 , 所以 1 1 1 1 4 + x1 + x2 1 + = + = = ,得证. (12 分) | FA | | FB | x1 + 2 x2 + 2 x1 x 2 + 2( x1 + x 2 ) + 4 2

??? ??? ? (3)由(2)可知, OA = ( x1, y1) , OB = ( x2 , y2 ) .

??? ??? ? OA× OB x1 x2 + y1 y2 -12 -3 于是 cos q = ??? ??? ? = = = , 2 2 2 2 2 2 | OA |× | OB | x1 + y1 × x2 + y2 x1 + 8 x1 × x2 + 8 x2 25 +16 m2
( 16 分)可求 得 cos q = é 3 ? 的取值范围为 ê- , 0÷ ÷ ÷. ê? 5 ? 25 +16 m2

-3

(18 分)

23 . (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 8 分. [证明( ] 1) 由 f n (n ) = n 得 y = fn ( x) 图像右端点的坐标为 ( n, n) , 由 f n +1 (n ) = n 得 y = fn + 1 ( x ) 图像左端点的坐标为 ( n, n) ,故两端点重合. 并且对 n ∈ N* ,这些点在直线 y = x 上. (2 分) (4 分)

[ 解 ] ( 2 ) 由 题 设 及 ( 1 ) 的 结 论 , 两 个 函数 图 像 有 且 仅 有 一 个 公 共 点 , 即 方程

? (x ? n )2 + n = kn x 在 n ? 1 ≤ x ≤n 上有两个相等的实数根.
整理方程得 x2 + (kn ? 2n ) x + n2 ? n = 0 , 由 ? = (kn ? 2n )2 ? 4(n 2 ? n ) = 0 ,解得 k n = 2n ± 2 n 2 ? n , 此时方程的两个实数根 x1 , x 2 相等,由 x1 + x2 = 2 n ? kn , —8 — (8 分)

得 x1 = x2 =

2 n ? kn = [2 n ? (2 n ± 2 n2 ? n )] = ? n 2 ? n , 2

因为 n ? 1 ≤ x1 = x 2 ≤ n ,所以只能 k n = 2n ? 2 n 2 ? n ( n ≥ 2 , n ∈ N* ) . (10 分) (3)当 n ≥ 2 时, kn = 2n ? 2 n 2 ? n =

2n

n + n ?n

2

=

2 1 1+ 1? n

,可得 1 < k n < 2 ,

且 k n 单调递减.

(14 分)

① 当 n ≥ 3 时,对于 2 ≤ i ≤ n ? 1 ,总有 1 < k n < ki ,亦即直线 y = kn x 与函数 f i ( x ) 的图像 总有两个不同的公共点(直线 y = kn x 在直线 y = x 与直线 y = k i x 之间) . 对 于 函 数 f1 ( x ) 来 说 , 因 为 1 < k n < 2 , 所 以 方 程 k n x = f1 ( x ) 有 两 个 解 : x1 = 0 ,

x2 = 2 ? k n ∈ (0,1) .
此时方程 f ( x ) = k n x ( 0 ≤ x ≤ n , n ∈ N* )的实数解的个数为 2( n ? 1) + 1 = 2 n ? 1 . (16 分) ② 当 n = 2 时,因为 1 < k 2 < 2 ,所以方程 k 2 x = f1 ( x ) 有两个解.此时方程 f ( x ) = k 2 x (

0 ≤ x ≤ 2 )的实数解的个数为 3 .

(17 分)

综上, 当 n ≥ 2 , n ∈ N* 时, 方程 f ( x ) = k n x ( 0 ≤ x ≤ n , n ∈ N* ) 的实数解的个数为 2 n ? 1 . (18 分)

—9 —


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