文科2012年上海市嘉定区黄浦区高三年级二模数学(含答案)

发布时间:2021-12-02 16:43:30

2012 年上海各区高三数学二模真题系列卷——嘉定区、黄浦区数学(文科)

2012 年上海市嘉定区、黄浦区高三年级二模试卷——数学(文科)
2012 年 4 月

本大题共 小题, 一、填空题(本大题共 14 小题,满分 56 分) 填空题 本大题 1.函数 f ( x) = log 1 (2 x + 1) 的定义域是
2 2



x + y 2 = 1 的焦距是 . 2 ? x ?1 ? 3.已知全集 U = R ,集合 A = ? x | . > 0, x ∈ R ? ,则 CU A = ? x +1 ? 1 4. 已知幂函数 y = f ( x) 存在反函数, 若其反函数的图像经过点 ( , 9) , 则幂函数 f ( x ) = 3 2 2 5.若函数 f ( x ) = ? x + (2m ? 1) x + m ? 1 在区间 ( ?∞,1] 上是增函数,则实数 m 的取值范围是 an 6.已知数列 {an } ( n ∈ N * ) 是公差为 2 的等差数列,则 lim = . n →∞ 2n ? 1 7.已知点 A( ?1, 0) 在圆 C : ( x ? 1) 2 + ( y + 1) 2 = 5 上,过点 A 作圆 C 的切线 l ,则切线 l 的方程是
2.椭圆:

. .

1
8.已知 z ∈ C ,且 z 为 z 的共轭复数,若 0

z 1

0 1 = 0 ( i 是虚数单位),则 z =
A .

z iz 0 9.已知 D 是 ?ABC 的边 BC 上的点,且 BD : DC = 1: 2 , r r uuu r uuur r r uuur AB = a, AC = b ,如图 1 所示.若用 a、 表示 AD , b uuur 则 AD = . 1 20 10. ( x ? ) 的二项展开式的常数项是 . B D 3 x 图1 π 5 4 11.已知 α、β ∈ (0, ) , cos(α + β) = ,sin(α ? β) = ? ,则 cos 2α = 2 13 5
12.已知圆柱的轴截面 ABB1 A1 是正方形,点 C 是圆柱下底面 弧 AB 的中点,点 C1 是圆柱上底面弧 A1 B1 的中点,如图 2 所示,则异面直线 AC1 与 BC 所成的角的正切值=

C



C1 A1 B1

A . C 图2

B

13.某高级中学举行高二英语演讲比赛,共有 9 人参加决赛(其中高二(2)班 2 人,其他班级 有 7 人),比赛的出场顺序按抽签方式产生,则比赛出场顺序是“高二(2)班 2 人比赛序号 不相连”的概率是 .(结果用最简分数表示) 14.方程 2.52 ? x 2 = 2 2 ? | x | 的不同实数根的个数是 .

本大题共 小题, 二、选择题(本大题共 4 小题,满分 20 分)
15.已知空间三条直线 a、b、m 及*面 α ,且 a 、 b ? α .条件甲: m ⊥ a, m ⊥ b ;条件乙: m ⊥ α ,则“条件 ≠ 乙成立”是“条件甲成立”的…………………………………………( ) A.充分非必要条件. B.必要非充分条件. C.充要条件. D.既非充分也非必要条件.

嘉定&黄浦 2012 二模数学文科试卷

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? x ≥ 0, ? y ≥ 0, ? 16.若实数 x、y 满足约束条件 ? 则目标函数 z = 2 x ? 3 y 的最小值是…( 2 x + y ? 24 ≤ 0, ? ??3 x + y + 6 ≥ 0; ? A. 6 . B. 0 . C. ?72 . D. ?24 .
17.现给出如下命题:



(1) 若某音叉发出的声波可用函数 y = 0.002 sin 800πt (t ∈ R + ) 描述, 其中 t 的单位是秒, 则该声波的频率是 400 赫兹; (2)在 ?ABC 中,若 c = a + b + ab ,则 ∠C =
2 2 2

π ; 3

(3)从一个总体中随机抽取一个样本容量为 10 的样本:11,10,12,10,9,8,9,11,12,8,则该总体标准

差的点估计值是 A.(1)、(2).

2 5 .则其中正确命题的序号是………………………………………………………………( 3
B.(1)、(3). C.(2)、(3). D.(1)、(2)、(3).



18.已知 ?ABC 的三边分别是 a、b、c ,且 a ≤ b ≤ c ( a、b、c ∈ N * ) ,当 b = n( n ∈ N * ) 时,记满足条件的所有三 角形的个数为 an ,则数列 {an } 的通项公式 an =………………( A . 2n ? 1 . B. ) D. n .

n(n + 1) . 2

C . 2n + 1 .

本大题共有 三、解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分) 解答题 本大题
19. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. . (本题满分 个小题, ( 如图 3 所示的几何体,是由棱长为 2 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 截去一个角后所得的几何体. (1)试画出该几何体的三视图;(主视图投影面*行*面 DCC1 D1 ,主视方向如图所示。请将三张视图按规定 位置画在答题纸的相应虚线框内) (2)若截面 ?MNH 是边长为 2 的正三角形,求该几何体的体积 V . A1 D H A 主视方向 图3 B D1 N M C C1

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20. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. . (本题满分 个小题, ( 已知函数 f ( x ) = 2 3 sin x ? cos x + cos 2 x ? 1( x ∈ R ) . (1)求函数 y = f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ∈ [ ?

5π π , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. . 本题满分 本题共有 个小题, 某高科技企业研制出一种型号为 A 的精密数控车床, A 型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初 到下一年的年初为 A 型车床所创造价值的第一年).若第 1 年 A 型车床创造的价值是 250 万元,且第 1 年至第 6 年, 每年 A 型车床创造的价值减少 30 万元;从第 7 年开始,每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用

an (n ∈ N * ) 表示 A 型车床在第 n 年创造的价值.
(1)求数列 {an } ( n ∈ N * ) 的通项公式 an ; (2)记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项的和, Tn =

Sn .企业经过成本核算,若 Tn > 100 万元,则继续使用 A 型车床, n 否则更换 A 型车床. 试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床?(已知: 若正数数列 {bn } 是单调递减数列,
? b1 + b2 + L + bn ? ? 也是单调递减数列). n ? ?

则数列 ?

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22.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 5 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题满分最多 8 分. . 本题满分 个小题, 已知函数 y = f ( x) 是定义域为 R 的偶函数, 且对 x ∈ R , 恒有 f (1 + x ) = f (1 ? x ) . 又当 x ∈ [0,1] 时,f ( x ) = x . (1)当 x ∈ [ ?1, 0] 时,求 f ( x ) 的解析式; (2)求证:函数 y = f ( x )( x ∈ R ) 是以 T = 2 为周期的周期函数; (3)解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可(无需写解题步骤 .注意:考生若选择多 解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可 无需写解题步骤 注意: 解答本小题考生只需从下列三个问题中选择一个写出结论即可 无需写解题步骤). 于一个问题解答,则按分数最低一个问题的解答正确与否给分. 于一个问题解答,则按分数最低一个问题的解答正确与否给分. ① 当 x ∈ [2n ? 1, 2n]( n ∈ Z ) 时,求 f ( x ) 的解析式.(4 分) ② 当 x ∈ [2n ? 1, 2n + 1] (其中 n 是给定的正整数)时,若函数 y = f ( x) 的图像与函数 y = kx 的图像有且仅有 两个公共点,求实数 k 的取值范围.(6 分) ③ 当 x ∈ [0, 2n] ( n 是给定的正整数且 n ≥ 3 )时,求 f ( x ) 的解析式.(8 分)

23.(本题满分 18 分) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. . 本题满分 个小题, 已知定点 F (2, 0) ,直线 l : x = ?2 ,点 P 为坐标*面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且

uuu r uuu uuu r r FQ ⊥ ( PF + PQ ) .
(1)求动点 P 所在曲线 C 的方程; (2)直线 l1 过点 F 与曲线 C 交于 A、B 两个不同点,求证:

1 1 1 + = ; | AF | | BF | 2

(3)记 OA 与 OB 的夹角为 θ (O 为坐标原点, A、B 为(2)中的两点),求 cos θ 的最小值.

uuu r

uuu r

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2012 年嘉定区、黄浦区高三年级二模数学试卷 文科 嘉定区 黄浦区高三年级二模数学试卷(文科 高三年级二模数学试卷 文科) 参考答案和评分标准
说明: 说明: 1、本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神 、本解答仅列出试题的一种解法,如果考生的解法与所列解答不同, 进行评分. 2、评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当 、评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅, 误而中断对该题的评阅 考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时, 考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 概念性错误, 概念性错误,就不给分.
一.填空题

1 1. (? , +∞ ) ; 2. 2 ; 3. [ ?1,1] ; 2 3 6. 1 ; 7. 2 x ? y + 2 = 0 ; 5. [ , +∞ ) ; 2 2r 1r 63 8 12 9. a + b ;10. C20 (C20 ) ; 11. 12. 2 ; ; 3 3 65
二、选择题: 选择题: 16. C 15. A 三、解答题 17. B 18. B

4. f ( x) = x

?

1 2



8. 0或 ? i ; 13.

7 ; 9

14. 4

19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 本题满分 本题共有 个小题, 解(1) (每画对一个图形得 2 分)
主视图 左视图

俯视图

6分 (2)设原正方体中由顶点 B1 出发的三条棱的棱长分别为 B1M = x, B1 N = y , B1 H = z . 结合题意,可知,

? x2 + y 2 = 4 ? 2 2 ? y + z = 4 ,解得 x = y = z = 2 .因此,所求几何体的体积 ? x2 + z 2 = 4 ?
1 1 2 V = V正方体 ? VB1 ? MNH = 23 ? ? ? ( 2)3 = 8 ? . 3 2 3
6分

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20.(本题满分 12 分) 本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. . 本题满分 个小题, 解(1)∵ f ( x ) = 2 3 sin x ? cos x + cos 2 x ? 1 , 由 2k π ? ∴ f ( x ) = 2 sin(2 x +

π
6

) ?1. 2 分

π π π π π ≤ 2 x + ≤ 2k π + ,解得 k π ? ≤ x ≤ k π + , 2 6 2 3 6 π π? ? 故函数 y = f ( x) 的单调递增区间为 ? k π ? , k π + ? ( k ∈ Z ) . 3 6? ? 5π π 2π π 5π ≤ 2x + ≤ . (2)由 ? ≤ x ≤ ,可得 ? 12 3 3 6 6 π 考察函数 y = sin x ,易知 -1 ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 , 6 π 于是 -3 ≤ 2sin(2 x + ) ? 1 ≤ 1 . 6 故 y = f ( x) 的取值范围为 [?3,1] .

(6 分)

(7 分)

(10 分)

(12 分)

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. . 本题满分 本题共有 个小题, [解](1)由题设,知 a1 , a2 ,…, a6 构成首项 a1 = 250 ,公差 d = ?30 的等差数列. 故 an = 280 ? 30n ( n ≤ 6 , n ∈ N * ) (万元) . (3 分)

a7 , a8 ,…, an ( n≥ 7 , n ∈ N * )构成首项 a7 =
n ?7

1 1 a6 = 50 ,公比 q = 的等比数列. 2 2
(6 分)

?1? (万元) . 故 an = 50 × ? ? ( n≥ 7 , n ∈ N * ) ?2? 1≤ n ≤ 6 ?280 ? 30n, ? n?7 于是, an = ? ( n ∈ N* ) (万元) . ?1? 50 × ? ? , n ≥ 7 ? ?2? ?
当 1 ≤ n ≤ 6 时, Tn =

(7 分)

(2)由(1)知, {an } 是单调递减数列,于是,数列 {Tn } 也是单调递减数列.

Sn = 265 ? 15n , {Tn } 单调递减, T6 = 175 > 100 (万元) . n 所以 Tn > 100 (万元) .

? ? 1 ?n?6 ? 1050 + 100 × ?1 ? ? ? ? 1150 ? 100 S ? ?2? ? ? ?= 2n ? 6 , 当 n≥ 7 时, Tn = n = n n n 当 n = 11 时, T11 > 104 (万元) ;当 n = 12 时, T12 < 96 (万元) .
所以,当 n≥12 , n ∈ N 时,恒有 Tn < 96 . 故该企业需要在第 11 年年初更换 A 型车床.
*

(9 分) (13 分)

(14 分)

22.本题满分 18 分)本题共有 3 个小题, 1 小题满分 5 分, 2 小题满分 5 分, 3 小题最多 8 分. . (本题满分 解(1)∵ y = f ( x) 本题共有 个小题, 第 第 第 是 R 上的偶函数,且 x ∈ [0,1] 时, f ( x ) = x , 又当 x ∈ [ ?1, 0] 时, ? x ∈ [0,1] ,有 f (? x ) = ? x .∴ f ( x ) = ? x ( ?1 ≤ x ≤ 0) .5 分 (2)证明∵对于 x ∈ R ,恒有 f (1 + x ) = f (1 ? x ) , ∴ f (2 + x ) = f (1 + (1 + x )) = f (1 ? (1 + x )) ,即 f (2 + x ) = f ( ? x ) .7 分 又∵ y = f ( x) 是偶函数, ∴ f (2 + x) = f ( x ) ,即 y = f ( x) 是周期函数,且 T = 2 就是它的一个周期.10 分 (3) 依据选择解答的问题评分 ① f ( x ) = 2n ? x( x ∈ [2n ? 1, 2n]) . 14 分
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②0 < k ≤
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1 .16 分 2n + 1

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? x( x ∈ [0,1)), ?2 ? x( x ∈ [1, 2)), ? ? x ? 2( x ∈ [2,3)), ③ f ( x) = ? ?M ? x ? (2n ? 2)( x ∈ [2n ? 2.2n ? 1)), ? ?2n ? x( x ∈ [2n ? 1, 2n]).

18 分

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. . 本题满分 本题共有 个小题, [解](1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) .

uuu r uuu r uuu r 由题意,可得 Q (?2, y ) , FQ = (?4, y ) , PF = (2 ? x, ? y ) , PQ = (?2 ? x,0) . 分) (3 uuu r uuu uuu r r uuu uuu uuu r r r 2 由 FQ 与 PF + PQ 垂直,得 FQ ? ( PF + PQ) = 0 ,即 y = 8 x ( x ≥ 0 ) . (6 分)
因此,所求曲线 C 的方程为 y 2 = 8 x ( x ≥ 0 ) .

(1 分)

[证明](2)因为过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,所以 l1 的斜率不为零,故设直线 l1 的方程 为 x = my + 2 . (7 分)

? y 2 = 8 x, 于是 A 、 B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组 ? ? x = my + 2, 2 消 x 并整理得 y - 8my - 16 = 0 . ? x + x2 = 8m + 4, ? y1 + y2 = 8m, ? 进一步得 ? 1 于是 ? ? x1 x2 = 4. ? y1 y2 = ?16, ? 2 又因为曲线 y = 8 x ( x ≥ 0 )的准线为 x = ?2 ,
2

的实数解. (8 分) (10 分)

4 + x1 + x2 1 1 1 1 1 + = + = = ,得证. (12 分) | FA | | FB | x1 + 2 x2 + 2 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 2 uuu r uuu r (3)由(2)可知, OA = ( x1 , y1 ) , OB = ( x2 , y2 ) . uuu uuu r r x1 x2 + y1 y2 OA ? OB ?12 ?3 r r 于是 cosθ = uuu uuu = , (16 分) = = 2 2 2 2 2 2 | OA | ? | OB | x1 + y1 ? x2 + y2 x1 + 8 x1 ? x2 + 8 x2 25 + 16m 2
所以 可求得 cosθ =

3 的最小值为 ? . 5 25 + 16m
2

?3

(18 分)

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