2012年上海市嘉定、黄浦高三数学二模测试卷及详解

发布时间:2021-12-02 17:57:22

2012 年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷(理科)详细答案及评分标准(2012 年 4 月 12 日) 详细答案及评分标准
考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解答一律无效. 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚. 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果,每题填对 得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x ) = log 1 (2 x + 1) 的定义域为
2



x2 ? y 2 = 1 的一个焦点为 F (2,0) ,则实数 m = m 3π 3.若 π ≤ x ≤ ,则方程 2sin x + 1 = 0 的解 x = . 2
2.若双曲线



1 4.已知幂函数 y = f ( x) 存在反函数,若其反函数的图像经过点 ( ,9) ,则该幂函数的解析式 3 f ( x) = . 5.一盒中有 7 件正品, 3 件次品,无放回地每次取一件产品,直至取到正品.已知抽取次数 ξ 的概率分布律如下 表:

x
P (ξ = x )

1

2

3

4

7 7 7 1 10 30 120 120 那么抽取次数 ξ 的数学期望 Eξ = . 6.一名工人维护甲、乙两台独立的机床,若在一小时内,甲、乙机床需要维护的概率分别为 0.9 、 0.85 ,则两台机床都不需要维护的概率为 .
1 7.已知 z ∈ C , z 为 z 的共轭复数,若 0 z 1 0 1 = 0 ( i 是虚数单位) ,则 z =



z iz 0

5 4 ? π? 8.已知 α 、 β ∈ ? 0, ? ,若 cos(α + β ) = , sin(α ? β ) = ? ,则 cos 2α = 13 5 ? 2?
9.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1 A1 是正方形, C 是圆柱下底 面弧 AB 的中点, C1 是圆柱上底面弧 A1 B1 的中点,那么异面 直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 .


A1

C1 B1

? x = 1 + 5 cosθ , ? 10.若过圆 C : ? ( 0 ≤ θ < 2π )上一点 P(?1,0) 作 ? y = ?1 + 5 sin θ , ?
该圆的切线 l ,则切线 l 的方程为 .

A
C
第9题

B

11.若 (1 + 2 x) n ( n ∈ N * )二项展开式中的各项系数和为 an ,其二项式系数和为 bn ,则 lim
n →∞

bn +1 ? a n = a n +1 + bn



12.设集合 P = {1, x} , Q = {1, 2, y} ,其中 x, y ∈{1, 2,3, 4,5,6,7,8,9} ,且 P ? Q .若将满足上述条件的每一个有序整 数对 ( x, y ) 看作一个点,则这样的点的个数为 . — 1 —

13.已知函数 f ( x) =| x 2 ? 2ax + a | ( x ∈ R ) ,给出下列四个命题: ① 当且仅当 a = 0 时, f ( x) 是偶函数; ② 函数 f ( x) 一定存在零点; ③ 函数在区间 (?∞, a ] 上单调递减; ④ 当 0 < a < 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? a 2 . 那么所有真命题的序号是 .
O A F B
y

x

14.已知△ FAB ,点 F 的坐标为 (1,0) ,点 A 、 B 分别在图中抛物线 y 2 = 4 x 及圆

( x ? 1)2 + y 2 = 4 的实线部分上运动, AB 总是*行于 x 轴, 且 那么△ FAB 的周长的
第 14 题

取值范围为



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上, 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知空间三条直线 a 、 b 、 m 及*面 α ,且 a 、 b ? α .条件甲: m ⊥ a , m ⊥ b ;条件乙: m ⊥ α ,则“条 ≠ 件乙成立”是“条件甲成立”的………………………………………( A.充分非必要条件 C.充分且必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ) )

16.已知 a 、 b > 0 ,则下列不等式中不一定成立的是……………………………………( a b 1 1 A. + ≥ 2 B. (a + b) ? ( + ) ≥ 4 b a a b C.

2ab ≥ ab a+b

D. a + b +

1 ≥2 2 ab

17.已知△ ABC 的三边分别是 a、b、 c ,且 a ≤ b ≤ c ( a、b、c ∈ N* ) ,若当 b = n ( n ∈ N * )时,记满足条件的 所有三角形的个数为 an ,则数列 {an } 的通项公式…………………( n(n + 1) A. an = 2n ? 1 B. an = 2 C. an = 2n + 1 D. an = n 则三个角 ∠AOB 、 ∠BOC 、 ∠COA ………………………( A.都是钝角 C.恰有两个钝角 )

18. 已知 O 、A 、B 、 是同一*面上不共线的四点, C 若存在一组正实数 λ1 、 2 、 3 , λ λ 使得 λ1 OA + λ2 OB + λ3 OC = 0 , )

uuu r

uuu r

uuur

r

B.至少有两个钝角 D.至多有两个钝角

解答题( 解答下列各题必须在答题卷 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的 解答题 步骤. 步骤. 19. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. ( 个小题, 已知三棱锥 P ? ABC , PA ⊥ *面 ABC , AB ⊥ AC ,
P

AB = AC = 4 , AP = 5 .
(1)求二面角 P ? BC ? A 的大小(结果用反三角函数值表示) . (2)把△ PAB (及其内部)绕 PA 所在直线旋转一周形成一几何体,求该几何 体的体积 V .
B A
C

— 2 —

20. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. ( 个小题, 已知函数 f ( x) = 2 3 sin x ? cos x + cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ∈ R ) (1)求函数 y = f ( x) 的单调递增区间; 5π π (2)若 x ∈ [? , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3

21. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. ( 个小题, 某高科技企业研制出一种型号为 A 的精密数控车床, A 型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初 到下一年的年初为 A 型车床所创造价值的第一年) 若第 1 年 A 型车床创造的价值是 250 万元, . 且第 1 年至第 6 年, 每年 A 型车床创造的价值减少 30 万元;从第 7 年开始,每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用 an ( n ∈ N * )表示 A 型车床在第 n 年创造的价值. (1)求数列 {an } ( n ∈ N * )的通项公式 an ; S (2)记 Sn 为数列 {an } 的前 n 项和, Tn = n .企业经过成本核算,若 Tn > 100 万元,则继续使用 A 型车床,否 n 则更换 A 型车床.试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床? (已知:若正数数列 {bn } 是单调递减

? b + b + L + bn ? 数列,则数列 ? 1 2 . ? 也是单调递减数列) n ? ?

— 3 —

22. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. ( 个小题,

uuu uuu r r ⊥ PF + PQ ) ( .设动点 P 的轨迹为曲线 C .
(1)求曲线 C 的方程;

已知定点 F (2,0) ,直线 l : x = ?2 ,点 P 为坐标*面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂足为点 Q ,且 FQ

uuu r

(2)过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,求证:

(3)记 OA 与 OB 的夹角为 θ ( O 为坐标原点, A 、 B 为(2)中的两点) ,求 cos θ 的取值范围.

uuu r

uuu r

1 1 1 + = ; | AF | | BF | 2

23. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小题满分 6 分. ( 个小题, 对 n ∈ N * ,定义函数 f n ( x) = ?( x ? n)2 + n , n ? 1≤ x ≤ n . (1)求证: y = f n ( x) 图像的右端点与 y = f n +1 ( x) 图像的左端点重合;并回答这些端点在哪条直线上. (2)若直线 y = kn x 与函数 f n ( x) = ?( x ? n)2 + n , n ? 1≤ x ≤ n ( n≥ 2 , n ∈ N * )的图像有且仅有一个公共 点,试将 kn 表示成 n 的函数. 在区间 [0, n] 上定义函数 y = f ( x) , 使得当 m ? 1 ≤ x ≤ m( m ∈ N* , m = 1 ,2 , 且 …, (3) n ∈ N * ,n≥ 2 , 对

n )时, f ( x) = f m ( x) .试研究关于 x 的方程 f ( x) = kn x ( 0 ≤ x ≤ n , n ∈ N * )的实数解的个数(这里
的 kn 是(2)中的 kn ) ,并证明你的结论.

— 4 —

2011 学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理科) 学年嘉定、 数学试卷( 参考答案和评分标准(2012 年 4 月 12 日) 参考答案和评分标准
说明: 说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答中的评分精神进行评 分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅,当考生的解答在 某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时,可视影响程度决定后面部分 的给分,这时原则上不应超过后面部分应给分数之半,如果有较严重的概念性错误,就不给分. 填空题( 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果, 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写结果,每题填对 填空题 得 4 分,否则一律得零分. 否则一律得零分 1 1. (? , +∞) 2. 3 2 1 ? 11 4. x 2 5. 8 63 7. 0 或 ?i 8. 65 1 10. 2 x ? y + 2 = 0 11. ? 3 13.①④ 14. (4,6)

3.

7π 6

6. 0.015 9. 2 12. 14

选择题( 每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上, 二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题卷的相应编号上, 选择题 将代表答案的小方格涂黑, 否则一律得零分. 将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 15.A 16.C 17.B 18.B

解答题( 解答下列各题必须在答题卷 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规定区域内写出必要的 解答题 步骤. 步骤. 19. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. ( 个小题, 联结 AD ,PD , 易知在等腰三角形 PBC 、ABC 中,PD ⊥ BC ,AD ⊥ BC , [解] 1) ( 解法一: BC 的中点 D , 设 故 ∠PDA 为二面角 P ? BC ? A 的*面角. 由 PA ⊥ *面 ABC ,得 PA ⊥ AD . (2分) 在等腰 Rt △ ABC 中,由 AB = AC = 4 及 AB ⊥ AC ,得 AD = 2 2 .

PA 5 2 = . AD 4 5 2 . 故二面角 P ? BC ? A 的大小为 arc tan 4
在 Rt △ PAD 中, tan ∠PDA = 解法二: 如图建立空间直角坐标系, 可得各点的坐标 A(0,0,0) ,B (4,0,0) ,

(6分)

(8分)
z P

C (0, 4,0) , P (0,0,5) . uuu r uuu r 于是 PB = (4,0, ?5) , BC = (?4, 4,0) .
设 n2 = (u, v, w) 是*面 PBC 的一个法向量.

(2分)

由 PA ⊥ *面 ABC ,得*面 ABC 的一个法向量 n1 = (0,0,1) .

uu r

uu r

因为 n2 ⊥ PB , n2 ⊥ BC ,所以 n2 ? PB = 0 , n2 ? BC = 0 , — 5 —
x

uu r

uuu r

uu r

uuu r

uu uuu r r

uu uuu r r

A
C

y

B

D

4 即 4u ? 5 w = 0 , ?4u + 4v = 0 ,解得 w = u , v = u , 5 uu r 取 u = 5 ,得 n2 = (5, ?5, 4) . (4分) uu uu r r uu uu r r n1 ? n2 2 66 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? = uu uu = . r r 33 n1 n2
结合图可判别二面角 P ? BC ? A 是个锐角,它的大小为 arccos

(6分)

2 66 . 33

(8分)

(2)由题设,所得几何体为圆锥,其底面半径为 4 ,高为 5 . 1 80π 该圆锥的体积 V = × 5 × π × 42 = . (12分) 3 3 20. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 个小题, ( π (2 分) [解](1)由题设 f ( x) = 3 sin 2 x + cos 2 x ? 1 = 2sin(2 x + ) ? 1 , 6 π π π π π 由 2k π ? ≤ 2 x + ≤ 2k π + ,解得 k π ? ≤ x ≤ k π + , 2 6 2 3 6 π π? ? 故函数 y = f ( x) 的单调递增区间为 ? k π ? , k π + ? ( k ∈ Z ) . (6 分) 3 6? ? 5π π 2π π 5π (2)由 ? ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2x + ≤ . (7 分) 12 3 3 6 6 π 考察函数 y = sin x ,易知 -1 ≤ sin(2 x + ) ≤ 1 , (10 分) 6 π 于是 -3 ≤ 2sin(2 x + ) ? 1 ≤ 1 . 6 故 y = f ( x) 的取值范围为 [?3,1] . (12 分)

21. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. ( 个小题, [解](1)由题设,知 a1 , a2 ,…, a6 构成首项 a1 = 250 ,公差 d = ?30 的等差数列. 故 an = 280 ? 30n ( n ≤ 6 , n ∈ N * ) (万元) . (3 分)

a7 , a8 ,…, an ( n≥ 7 , n ∈ N * )构成首项 a7 =
n ?7

1 1 a6 = 50 ,公比 q = 的等比数列. 2 2
(6 分)

?1? 故 an = 50 × ? ? ( n≥ 7 , n ∈ N * ) (万元) . ?2? 1≤ n ≤ 6 ?280 ? 30n, ? n?7 于是, an = ? ( n ∈ N* ) (万元) . ?1? 50 × ? ? , n ≥ 7 ? ?2? ?
当 1 ≤ n ≤ 6 时, Tn =

(7 分)

(2)由(1)知, {an } 是单调递减数列,于是,数列 {Tn } 也是单调递减数列.

Sn = 265 ? 15n , {Tn } 单调递减, T6 = 175 > 100 (万元) . n 所以 Tn > 100 (万元) .
? ? 1 ?n?6 ? 1050 + 100 × ?1 ? ? ? ? 1150 ? 100 Sn ? ?2? ? ? ?= 2n ? 6 , 当 n≥ 7 时, Tn = = n n n
— 6 —

(9 分)

当 n = 11 时, T11 > 104 (万元) ;当 n = 12 时, T12 < 96 (万元) . 所以,当 n≥12 , n ∈ N 时,恒有 Tn < 96 . 故该企业需要在第 11 年年初更换 A 型车床.
*

(13 分)

(14 分)

22. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. ( 个小题, [解](1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) . (1 分) 由题意,可得 Q (?2, y ) , FQ = (?4, y ) , PF = (2 ? x, ? y ) , PQ = (?2 ? x,0) . 分) (3 由 FQ 与 PF + PQ 垂直,得 FQ ? ( PF + PQ) = 0 ,即 y 2 = 8 x ( x ≥ 0 ) . 因此,所求曲线 C 的方程为 y = 8 x ( x ≥ 0 ) . [证明](2)因为过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,所以 l1 的斜率不为零,故设直线 l1 的方程 为 x = my + 2 . (7 分)
2

uuu r

uuu r

uuu r

uuu r

uuu uuu r r

uuu uuu uuu r r r

(6 分)

ì y 2 = 8 x, ? 于是 A 、 B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组 ? 的实数解. í ? ? x = my + 2, ? 消 x 并整理得 y 2 - 8my - 16 = 0 .
? x + x2 = 8m2 + 4, ? y1 + y2 = 8m, ? 于是 ? 进一步得 ? 1 ? x1 x2 = 4. ? y1 y2 = ?16, ? 2 又因为曲线 y = 8 x ( x ≥ 0 )的准线为 x = ?2 ,
所以

(8 分) (10 分)

4 + x1 + x2 1 1 1 1 1 + = + = = ,得证. (12 分) | FA | | FB | x1 + 2 x2 + 2 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 2 uur uuu r (3)由(2)可知, OA = ( x1 , y1 ) , OB = ( x2 , y2 ) . uur uuu r x1 x2 + y1 y2 OA ?OB 12 - 3 于是 cos q = uur uuu = = = , r 2 2 2 2 2 2 | OA | ×| OB | x1 + y1 ? x2 y2 x1 + 8 x1 ? x2 8 x2 25 + 16m 2
(16 分) 可求得 cos q =

- 3 25 + 16m 2

轹3 的取值范围为 ê ,0÷. ÷ ê 5 ÷ ? ?

(18 分)

23. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. ( 个小题, [证明](1)由 f n (n) = n 得 y = f n ( x) 图像右端点的坐标为 (n, n) ,由 f n +1 (n) = n 得 y = f n +1 ( x) 图像左端点的坐标 为 (n, n) ,故两端点重合. (2 分) 并且对 n ∈ N * ,这些点在直线 y = x 上. (4 分) [解](2)由题设及(1)的结论,两个函数图像有且仅有一个公共点,即方程 ?( x ? n) 2 + n = kn x 在 n ? 1≤ x ≤ n 上有两个相等的实数根. 整理方程得 x 2 + ( kn ? 2n) x + n 2 ? n = 0 , 由 ? = (kn ? 2n) 2 ? 4(n 2 ? n) = 0 ,解得 k n = 2 n ± 2 n 2 ? n , 此时方程的两个实数根 x1 , x2 相等,由 x1 + x2 = 2n ? kn , 得 x1 = x2 = (8 分)

2n ? k n = [2n ? (2n ± 2 n 2 ? n )] = m n 2 ? n , 2
2n n+ n ?n
2

因为 n ? 1≤ x1 = x2 ≤ n ,所以只能 k n = 2 n ? 2 n 2 ? n ( n≥ 2 , n ∈ N * )(10 分) . (3)当 n≥ 2 时, kn = 2n ? 2 n 2 ? n =

=

2 1 1+ 1? n

,可得 1 < kn < 2 ,

且 kn 单调递减.

(14 分)

① 当 n≥ 3 时,对于 2 ≤ i ≤ n ? 1 ,总有 1 < kn < ki ,亦即直线 y = kn x 与函数 fi ( x) 的图像总有两个不同的公共 — 7 —

点(直线 y = kn x 在直线 y = x 与直线 y = ki x 之间) . 对于函数 f1 ( x) 来说,因为 1 < kn < 2 ,所以方程 kn x = f1 ( x) 有两个解: x1 = 0 , x2 = 2 ? kn ∈ (0,1) . 此时方程 f ( x) = kn x ( 0 ≤ x ≤ n , n ∈ N * )的实数解的个数为 2(n ? 1) + 1 = 2n ? 1 . (16 分) ② 当 n = 2 时,因为 1 < k2 < 2 ,所以方程 k2 x = f1 ( x) 有两个解.此时方程 f ( x) = k2 x ( 0 ≤ x ≤ 2 )的实数解 的个数为 3 . (17 分) 综 上 , 当 n≥ 2 , n ∈ N * 时 , 方 程 f ( x) = kn x ( 0 ≤ x ≤ n , n ∈ N * ) 的 实 数 解 的 个 数 为 2n ? 1 . (18 分)

— 8 —


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