2012年上海嘉定_高三数学二模_含答案

发布时间:2021-12-02 18:29:25

2012 年上海市嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试 数学试卷(理科)
(2012 年 4 月 12 日) 考生注意: 1.每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料,解答必须在答题卷上进行,写在试卷上的解 答一律无效. 2.答卷前,考生务必将姓名、准考证号等相关信息在答题卷上填写清楚. 3.本试卷共 23 道试题,满分 150 分;考试时间 120 分钟. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直接 填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分. 1.函数 f ( x) = log 1 (2 x + 1) 的定义域为
2



2.若双曲线

x2 ? y 2 = 1 的一个焦点为 F (2,0) ,则实数 m = m 3π 3.若 π ≤ x ≤ ,则方程 2sin x + 1 = 0 的解 x = . 2



4.已知幂函数 y = f ( x) 存在反函数,若其反函数的图像经过点 ( ,9) ,则该幂函数的解析式

1 3

f ( x) = . 5.一盒中有 7 件正品,3 件次品,无放回地每次取一件产品,直至取到正品.已知抽取次数 ξ
的概率分布律如下表:

x
P (ξ = x)

1

2

3

4

7 7 7 10 30 120 那么抽取次数 ξ 的数学期望 Eξ =

1 120 .

6.一名工人维护甲、乙两台独立的机床,若在一小时内,甲、乙机床需要维护的概率分别为 . 0.9 、 0.85 ,则两台机床都不需要维护的概率为

1
7.已知 z ∈ C , z 为 z 的共轭复数,若 0

z 1

0
,则 z = 1 = 0 ( i 是虚数单位) .

z iz 0

5 4 ? π? 8.已 知 α 、 β ∈ ? 0, ? ,若 cos(α + β ) = , sin(α ? β ) = ? ,则 13 5 ? 2?
cos 2α =

A1

C1 B1

9.如图,已知圆柱的轴截面 ABB1 A1 是正方形, C 是圆柱下底 面弧 AB 的中点, C1 是圆柱上底面弧 A1 B1 的中点,那么异面 直线 AC1 与 BC 所成角的正切值为 .
A
B C
第9题

—1—

? x = 1 + 5 cos θ , ? 10.若过圆 C : ? ( 0 ≤θ < 2π )上一点 P(?1,0) 作 ? y = ?1 + 5 sin θ , ?
该圆的切线 l ,则切线 l 的方程为 .

11.若 (1 + 2 x)n ( n ∈ N* )二项展开式中的各项系数和为 an ,其二项式系数和为 bn ,则

lim

bn +1 ? a n = n →∞ a n +1 + bn



12.设集合 P = {1, x} , Q = {1, 2, y} ,其中 x, y ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9} ,且 P ? Q .若将满足上述 条件的每一个有序整数对 ( x, y ) 看作一个点,则这样的点的个数为 13.已知函数 f ( x) =| x 2 ? 2ax + a | ( x ∈ R ) ,给出下列四个命题: ① 当且仅当 a = 0 时, f ( x) 是偶函数; ② 函数 f ( x) 一定存在零点; ③ 函数在区间 (?∞, a ] 上单调递减; ④ 当 0 < a < 1 时,函数 f ( x) 的最小值为 a ? a 2 . 那么所有真命题的序号是 .
O F A B
y



x

14.已知△ FAB ,点 F 的坐标为 (1,0) ,点 A 、 B 分别在图中抛物线

y 2 = 4 x 及圆 ( x ? 1)2 + y 2 = 4 的实线部分上运动,且 AB 总是*
行于 x 轴,那么△ FAB 的周长的取值范围为 .
第 14 题

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.已知空间三条直线 a 、 b 、 m 及*面 α ,且 a 、 b ? α .条件甲: m ⊥ a , m ⊥ b ;条件 ≠ 乙:m ⊥ α , “条件乙成立” “条件甲成立” 则 是 的……………………………………… ( A.充分非必要条件 C.充分且必要条件 B.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件 ) )

16.已知 a 、 b > 0 ,则下列不等式中不一定成立的是……………………………………( A.

a b + ≥2 b a 2ab ≥ ab a+b

B. (a + b) ? ( + ) ≥ 4 D. a + b +

1 a

1 b

C.

1 ≥2 2 ab

17.已知△ ABC 的三边分别是 a、b、c ,且 a ≤ b ≤ c ( a、b、c ∈ N* ) ,若当 b = n ( n ∈ N* ) 时, 记满足条件的所有三角形的个数为 an , 则数列 {an } 的通项公式………………… ( A. an = 2n ? 1 —2— B. an = )

n( n + 1) 2

C. an = 2n + 1

D. an = n

18.已知 O 、 A 、 B 、 C 是同一*面上不共线的四点,若存在一组正实数 λ1 、 λ2 、 λ3 ,使得 uuu r uuu r uuur r λ1 OA + λ2 OB + λ3 OC = 0 , 则三个角 ∠AOB 、∠BOC 、∠COA ……………………… ( ) A.都是钝角 C.恰有两个钝角 B.至少有两个钝角 D.至多有两个钝角

解答题( 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规 解答题 定区域内写出必要的步骤. 定区域内写出必要的步骤. 19. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 ( 个小题, 小题满分 4 分. 已知三棱锥 P ? ABC , PA ⊥ *面 ABC , AB ⊥ AC ,
P

AB = AC = 4 , AP = 5 .
(1)求二面角 P ? BC ? A 的大小(结果用反三角函数值表示) . (2)把△ PAB (及其内部)绕 PA 所在直线旋转一周形成一几 何体,求该几何体的体积 V .
B A
C

20. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. ( 个小题, 已知函数 f ( x) = 2 3 sin x ? cos x + cos 2 x ? sin 2 x ? 1 ( x ∈ R ) (1)求函数 y = f ( x) 的单调递增区间; (2)若 x ∈ [?

5π π , ] ,求 f ( x) 的取值范围. 12 3

21. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. ( 个小题, 某高科技企业研制出一种型号为 A 的精密数控车床, A 型车床为企业创造的价值逐年减 少(以投产一年的年初到下一年的年初为 A 型车床所创造价值的第一年) .若第 1 年 A 型车床 创造的价值是 250 万元,且第 1 年至第 6 年,每年 A 型车床创造的价值减少 30 万元;从第 7 年开始,每年 A 型车床创造的价值是上一年价值的 50%.现用 an ( n ∈ N* )表示 A 型车床在 第 n 年创造的价值. —3—

(1)求数列 {an } ( n ∈ N* )的通项公式 an ; (2)记 S n 为数列 {an } 的前 n 项和, Tn =

Sn .企业经过成本核算,若 Tn > 100 万元,则继 n 续使用 A 型车床,否则更换 A 型车床.试问该企业须在第几年年初更换 A 型车床?

? b + b + L + bn ? (已知:若正数数列 {bn } 是单调递减数列,则数列 ? 1 2 ? 也是单调递减 n ? ?
数列) .

22. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 ( 个小题, 题满分 6 分. 已知定点 F (2,0) ,直线 l : x = ?2 ,点 P 为坐标*面上的动点,过点 P 作直线 l 的垂线,垂 uuu r uuu uuu r r ( .设动点 P 的轨迹为曲线 C . 足为点 Q ,且 FQ ⊥ PF + PQ ) (1)求曲线 C 的方程; (2)过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,求证:

1 1 1 + = ; | AF | | BF | 2

uuu r uuu r (3)记 OA 与 OB 的夹角为 θ ( O 为坐标原点, A 、 B 为(2)中的两点) ,求 cos θ 的取
值范围.

23. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 8 分,第 3 小 ( 个小题, 题满分 6 分. 对 n ∈ N* ,定义函数 f n ( x) = ?( x ? n)2 + n , n ? 1≤ x ≤ n . (1)求证: y = f n ( x) 图像的右端点与 y = f n +1 ( x ) 图像的左端点重合;并回答这些端点在 哪条直线上. (2)若直线 y = k n x 与函数 f n ( x) = ?( x ? n)2 + n , n ? 1≤ x ≤ n ( n≥ 2 , n ∈ N* )的图 像有且仅有一个公共点,试将 k n 表示成 n 的函数. —4—

(3) n ∈ N* , 对 n≥ 2 , 在区间 [0, n] 上定义函数 y = f ( x) , 使得当 m ? 1≤ x ≤ m m ∈ N* , (

2 …, 时,f ( x ) = f m ( x ) . 试研究关于 x 的方程 f ( x ) = k n x 0 ≤ x ≤ n , ( 且 m = 1, , n ) n ∈ N* )的实数解的个数(这里的 k n 是(2)中的 k n ) ,并证明你的结论.

2011 学年嘉定、黄浦区高三年级第二次模拟考试数学试卷(理科) 学年嘉定、 数学试卷( 参考答案和评分标准(2012 年 4 月 12 日) 参考答案和评分标准
说明: 说明: 1.本解答仅列出试题的一种或两种解法,如果考生的解法与所列解答不同,可参考解答 中的评分精神进行评分. 2.评阅试卷,应坚持每题评阅到底,不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评 阅,当考生的解答在某一步出现错误,影响了后继部分,但该步以后的解答未改变这一题的内 容和难度时, 可视影响程度决定后面部分的给分, 这时原则上不应超过后面部分应给分数之半, 如果有较严重的概念性错误,就不给分. 一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 小题,考生应在答题卷相应编号的空格内直 填空题( 小题,考生应在答题卷 填空题 否则一律得零分. 接填写结果,每题填对得 4 分,否则一律得零分 写结果, 1. (? , +∞)
? 1 2

1 2

2. 3

3.

7π 6

4. x

5.

11 8 63 65

6. 0.015

7. 0 或 ?i 10. 2 x ? y + 2 = 0 13.①④

8.

9. 2 12. 14

11. ?

1 3 14. (4,6)

二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答 选择题( 每题有且只有一个正确答案, 选择题 否则一律得零分. 题卷的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分 的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑, 15.A 16.C 17.B 18.B

解答题( 解答下列各题必须在答题卷 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题卷相应的编号规 解答题 —5—

定区域内写出必要的步骤. 定区域内写出必要的步骤. 19. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满分 4 分. ( 个小题, [解](1)解法一:设 BC 的中点 D ,联结 AD , PD ,易知在等腰三角形 PBC 、 ABC 中,

PD ⊥ BC , AD ⊥ BC ,故 ∠PDA 为二面角 P ? BC ? A 的*面角.
在等腰 Rt △ ABC 中,由 AB = AC = 4 及 AB ⊥ AC ,得 AD = 2 2 . 由 PA ⊥ *面 ABC ,得 PA ⊥ AD . 在 Rt △ PAD 中, tan ∠PDA =

(2分)

PA 5 2 . = AD 4 5 2 故二面角 P ? BC ? A 的大小为 arc tan . 4
z P

(6分)

(8分)

解法二:如图建立空间直角坐标系,可得各点的坐标

A(0,0,0) , B(4,0,0) , C (0, 4,0) , P (0,0,5) . uuu r uuu r 于是 PB = (4,0, ?5) , BC = (?4, 4,0) .

(2分)

由 PA ⊥ * 面 ABC , 得 * 面 ABC 的 一 个 法 向 量 uu r n1 = (0,0,1) . uu r 设 n2 = (u , v, w) 是*面 PBC 的一个法向量. uu uuu uu uuu r r r r uu uuu r r uu uuu r r 因为 n2 ⊥ PB , 2 ⊥ BC , n 所以 n2 ? PB = 0 , 2 ? BC = 0 , n B 4 即 4u ? 5 w = 0 , ?4u + 4v = 0 ,解得 w = u , v = u , x 5 uu r 取 u = 5 ,得 n2 = (5, ?5,4) . (4分)

A
C D

y

uu uu r r uu uu r r n1 ? n2 2 66 设 n1 与 n2 的夹角为 ? ,则 cos ? = uu uu = . r r 33 n1 n2
结合图可判别二面角 P ? BC ? A 是个锐角,它的大小为 arccos

(6分)

2 66 . (8分) 33 (2)由题设,所得几何体为圆锥,其底面半径为 4 ,高为 5 . 1 80π 该圆锥的体积 V = × 5 × π × 42 = . (12分) 3 3 20. 本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 个小题, ( π [解](1)由题设 f ( x) = 3 sin 2 x + cos 2 x ? 1 = 2sin(2 x + ) ? 1 , (2 分) 6 π π π π π 由 2k π ? ≤ 2 x + ≤ 2k π + ,解得 k π ? ≤ x ≤ k π + , 2 6 2 3 6
π π? ? 故函数 y = f ( x) 的单调递增区间为 ? k π ? , k π + ? ( k ∈ Z ) . 3 6? ?
(6 分)

5π π 2π π 5π ≤ x ≤ ,可得 ? ≤ 2 x + ≤ . 12 3 3 6 6 π 考察函数 y = sin x ,易知 -1 ≤ sin(2 x + ) ≤1 , 6
(2)由 ? —6—

(7 分)

(10 分)

于是 -3 ≤ 2sin(2 x + ) ? 1 ≤1 .

π 6 故 y = f ( x) 的取值范围为 [ ?3,1] .

(12 分)

21. 本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. ( 个小题, [解](1)由题设,知 a1 , a2 ,…, a6 构成首项 a1 = 250 ,公差 d = ?30 的等差数列. 故 an = 280 ? 30n ( n ≤ 6 , n ∈ N* ) (万元) . (3 分)

a7 , a8 ,…, an ( n≥ 7 , n ∈ N* )构成首项 a7 =

1 1 a6 = 50 ,公比 q = 的等比数列. 2 2
(6 分)

?1? 故 an = 50 × ? ? ?2?

n?7

( n≥ 7 , n ∈ N* ) (万元) .

1≤ n ≤ 6 ? 280 ? 30n, ? n?7 于是, an = ? ( n ∈ N* ) (万元) . ?1? 50 × ? ? , n ≥ 7 ? ?2? ?

(7 分)

(2)由(1)知, {an } 是单调递减数列,于是,数列 {Tn } 也是单调递减数列. 当 1≤ n ≤ 6 时, Tn =

Sn = 265 ? 15n , {Tn } 单调递减, T6 = 175 > 100 (万元) . n

所以 Tn > 100 (万元) .

S 当 n≥ 7 时, Tn = n = n

? ? 1 ?n?6 ? 1050 + 100 × ?1 ? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? n

=

1150 ? n

100 2n ? 6 ,

(9 分)

当 n = 11 时, T11 > 104 (万元) ;当 n = 12 时, T12 < 96 (万元) . 所以,当 n≥12 , n ∈ N* 时,恒有 Tn < 96 . 故该企业需要在第 11 年年初更换 A 型车床.

(13 分)

(14 分)

22. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 ( 个小题, 题满分 6 分. [解](1)设点 P 的坐标为 ( x, y ) . (1 分) uuu r uuu r uuu r 由题意,可得 Q( ?2, y ) , FQ = ( ?4, y ) , PF = (2 ? x, ? y ) , PQ = ( ?2 ? x, 0) . 分) (3

uuu r uuu uuu r r uuu uuu uuu r r r 由 FQ 与 PF + PQ 垂直,得 FQ ? ( PF + PQ ) = 0 ,即 y 2 = 8 x ( x ≥ 0 ) .
—7—

(6 分)

因此,所求曲线 C 的方程为 y 2 = 8 x ( x ≥ 0 ) . [证明](2)因为过点 F 的直线 l1 与曲线 C 有两个不同的交点 A 、 B ,所以 l1 的斜率不为 零,故设直线 l1 的方程为 x = my + 2 . (7 分)

ì y 2 = 8 x, ? 于是 A 、 B 的坐标 ( x1 , y1 ) 、 ( x2 , y2 ) 为方程组 ? 的实数解. í ? ? x = my + 2, ?
消 x 并整理得 y 2 - 8my - 16 = 0 .
2 ? ? y1 + y2 = 8m, ? x + x2 = 8m + 4, 于是 ? 进一步得 ? 1 ? x1 x2 = 4. ? y1 y2 = ?16, ?

(8 分)

(10 分)

又因为曲线 y 2 = 8 x ( x ≥ 0 )的准线为 x = ?2 ,

所以

4 + x1 + x2 1 1 1 1 1 + = + = = ,得证. (12 分) | FA | | FB | x1 + 2 x2 + 2 x1 x2 + 2( x1 + x2 ) + 4 2

uur uuu r (3)由(2)可知, OA = ( x1 , y1 ) , OB = ( x2 , y2 ) .

uur uuu r OA ?OB 于是 cos q = uur uuu = r | OA | ×| OB |

x1 x2 + y1 y2 x + y ? x
2 1 2 1 2 2

y

2 2

=

12 x + 8 x1 ? x
2 1 2 2

= 8 x2

- 3


25 + 16m 2
(16 分)可求

得 cos q =

轹3 的取值范围为 ê ,0÷. ÷ ê 5 ÷ ? ? 25 + 16m 2

- 3

(18 分)

23. 本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 ( 个小题, 题满分 8 分. [证明] 1) f n ( n) = n 得 y = f n ( x) 图像右端点的坐标为 (n, n) , f n +1 ( n ) = n 得 y = f n +1 ( x ) ( 由 由 图像左端点的坐标为 (n, n) ,故两端点重合. 并且对 n ∈ N* ,这些点在直线 y = x 上. (2 分) (4 分)

[解](2)由题设及(1)的结论,两个函数图像有且仅有一个公共点,即方程

?( x ? n)2 + n = kn x 在 n ? 1≤ x ≤ n 上有两个相等的实数根.
整理方程得 x 2 + ( kn ? 2n) x + n2 ? n = 0 , 由 ? = (kn ? 2n)2 ? 4(n 2 ? n) = 0 ,解得 k n = 2 n ± 2 n 2 ? n , 此时方程的两个实数根 x1 , x2 相等,由 x1 + x2 = 2n ? kn , —8— (8 分)

得 x1 = x2 =

2n ? k n = [2n ? (2n ± 2 n2 ? n )] = m n2 ? n , 2

因为 n ? 1 ≤ x1 = x2 ≤ n ,所以只能 k n = 2 n ? 2 n 2 ? n ( n≥ 2 , n ∈ N* )(10 分) . (3)当 n≥ 2 时, kn = 2n ? 2 n 2 ? n =

2n n+ n ?n
2

=

2 1 1+ 1? n

,可得 1 < k n < 2 ,

且 k n 单调递减.

(14 分)

① 当 n≥ 3 时,对于 2 ≤ i ≤ n ? 1 ,总有 1 < kn < ki ,亦即直线 y = k n x 与函数 f i ( x) 的图像 总有两个不同的公共点(直线 y = k n x 在直线 y = x 与直线 y = ki x 之间) . 对 于 函 数 f1 ( x) 来 说 , 因 为 1 < k n < 2 , 所 以 方 程 k n x = f1 ( x ) 有 两 个 解 : x1 = 0 ,

x2 = 2 ? kn ∈ (0,1) .
此时方程 f ( x ) = k n x ( 0 ≤ x ≤ n , n ∈ N* )的实数解的个数为 2(n ? 1) + 1 = 2n ? 1 . (16 分) ② 当 n = 2 时,因为 1 < k 2 < 2 ,所以方程 k 2 x = f1 ( x) 有两个解.此时方程 f ( x ) = k 2 x ( 0 ≤ x ≤ 2 )的实数解的个数为 3 . (17 分)

综上,当 n≥ 2 , n ∈ N* 时,方程 f ( x ) = k n x ( 0 ≤ x ≤ n , n ∈ N* )的实数解的个数为

2n ? 1 .

(18 分)

—9—


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